向量

向量是对几何空间的一种抽象和提高，这种抽象舍去了几何空间的具体形象，保留了事物间的关系和空间形式。抽象思维活动往往能抓住事物的关键特征和本质。我们应该努力掌握科学概念,避免经验思维,培养和发展理论思维。

向量的数量积与向量积

向量的数量积和向量积都是来源于生活中的实际问题和物理学的概念.其实，很多数学概念和理论最初都来源于生产生活实践,发展到一定程度后，抽象出来得到保留本质关系的概念和理论,这些概念和理论不再依赖于经验和具体形象，甚至可以用来指导生产生活实践。

平面的位置关系

实际上，两平面的位置关系，甚至多个平面的位置关系可以从系数矩阵的秩的角度进行刻画，有兴趣的同学可以课后完成。从中可以看出，很多看似不相关的空间图形的位置关系却隐藏着一些共性，如它们的一般方程的系数矩阵和增广矩阵的秩不变等。这也告诉我们，换一个角度看问题可能更容易接近事物的本质。

旋转曲面与柱面

由旋转曲面和柱面的形成过程，我们知道不能用孤立、静止的观点看问题。任何事物的结构都是复杂的，其层次多样，属性也有很多种。只有以发展的眼光认识客体的各个方面和本质规律,人们才能逐步达到对事物的全面、本质的认识。

二元函数极限的概念

掌握了二元函数极限的概念后我们可以发现:不管是一元函数还是二元函数，极限研究的是自变量某个变化过程下函数值的变化情况.世界是一个普遍联系的统一整体,任何事物都不能孤立地存在,都同其他事物发生着联系。抓住事物之间的联系往往有助于我们认识事物。上册课本中对一元函数极限的计算方法已经介绍了很多,根据一元函数与二元函数之间的联系,二元函数极限也可利用类似的方法求解。

二元函数极限

研究二元函数极限时,自变量趋于某点的方式有无穷多种，因此我们要从整体的角度去观察函数值的变化趋势.在实际生活中，我们不能用孤立、静止、片面、表面的观点来看世界,不能只凭片面的了解或局部的经验就乱加猜测并做出判断，而要整体、全面地去观察和认识事物。

偏导数

偏导数本质上就是一个自变量的变化率，此时只有一个自变量发生变化，其他自变量不变(即可视为常数),所以可将该多元函数视为一元函数.那么求偏导就和一元函数求导是一样的,按照函数的构成，采用相应的求导公式和求导法则进行计算,解题如此，为人处世也是如此.我们应当遵循各种原则和理论，运用各种方法和手段,遇事不乱,处变不惊,有法可循,按部就班,循序渐进,最终达成目标。

全微分

在自然科学或者工程技术中，利用全微分求出的虽然只是近似值，但也不能忽视它的重要性。追寻真理的道路都是曲折的,每一次的“近似”都意味着一次进步。有了“近似”之后还要不断向事实靠近,不能满足于现状。成功很难一蹴而就，别让挫折阻挡你前进的脚步。

多元复合函数与隐函数的微分法

学习本节课程，我们感受到了思维的魔力,同时在钻研解法的过程中体会到了锲而不舍、不达目的不罢休的精神,正所谓“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”。

多元函数的极值与最值

一个国家、一个单位、一个部门以及一个人,在发展的道路上都在孜孜不倦地追求“极大值”和“最大值”很多同学在高中时代是优秀的,是所在班级的“极大值”或者“最大值”,但是进入大学之后,你是否还是“极大值”或者“最大值”呢?要想成为“极大值”或者“最大值”,就需要同学们付出辛勤的汗水,努力拼搏,不能沉迷于游戏和网络,同时，要明白“天外有天,人外有人”的道理，不要骄傲自满,人生就像连绵不断的曲面,起起落落是必经之路,是成长的需要,我们应努力做到跌入低谷不气馁，伫立高峰不张扬。

二重积分的概念

二重积分的概念是定积分的推广,即从一元函数到二元函数，从积分区间到秘分区域.虽然它们的数学思想是一样的,但二重积分绝不是形式上的简单改变,而是在前者的基础上解决类似的更为广泛的问题,是积分问题本质的飞跃.同时，它不是算法的简单重复，而是对积分区域的分析处理。二重积分的整个过程贯穿着化整为零、不变代变、积零为整的思想，在量变无限累积的过程中，通过“取极限”而实现质变,正是事物从量变到质变的辩证关系的体现。

二重积分的计算

对于二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算，选择哪种方法应当根据被积函数和积分区域的特征而定.如果选择恰当，题目易解，反之，题目难解.我们遇到问题时,应该学会尽量选择行之有效的解决方法，避免低效率或做无用功。

级数的敛散性

通过学习我们知道:级数的收敛、和的极限是存在的,而级数的发散、和的极限是不存在的.这让我们联想到日常的为人处世,我们应该收放有度,收放自如。“收敛”就犹如我们能在一天的忙碌之后,去集中精力做最有价值的事情.“收敛”需要极大的勇气和自律,而在纷繁复杂的一天之后,如果你无法对一天的“发散”做一个“收敛”,那注定是混乱的、低效疲劳的一天.集中好自己的注意力和精力，有的放矢，这就是“收敛”的意识和能力。

行列式的定义

在本节中，我们先介绍二阶和三阶行列式的定义，再介绍n阶行列式的定义，进而介绍几种特殊的行列式.这样安排的目的不仅是让同学们容易理解和学习新的知识，同时揭示了知识的发展创新规律--由具体到一般,由特殊到普遍.人们认识事物总是由特殊到普遍，又由普遍到特殊.事物的特殊性和普遍性的差别在于认知范围.对于一个新事物我们会认为它具有特殊性,但是当我们对事物的认知达到一定的程度时,会发现它具有普遍性.所以,事物的特殊性和普遍性是统一的,事物的普遍性都是从特殊性发展而来的,而具有特殊性的事物也必然隐含着某种普遍性。

行列式的性质

利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，虽然行列式的形式改变了，但是行列式的值不变,同学们不但要观其表象，更要明白其内里.在生活中遇到的事物亦是如此,“变与不变”相辅相成，是形式与内容的和谐统一，所以我们要寻求形式上的最佳方案,利用化归思想化繁为简,化难为易,化未知为已知，寻找解决问题的最佳途径。

克莱姆法则

G.克莱姆(Cramer,Gabriel),瑞士数学家.他早年在日内瓦读书,1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授,1750年任哲学教授.克莱姆对线性代数和解析几何做出了巨大贡献,他在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出解n元n次方程组的方法,即克莱姆法则.他自1727年开始进行了为期两年的旅行访学，在巴塞尔与约翰·伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友，后又到英国、荷、法国等地拜访许多数学名家,回国后在与他们的长期通信中,加强了数学家之的联系,为数学宝库也留下了大量有价值的文献。

逆矩阵

利用逆矩阵可以对所传递的明文信息加上保密措施后发送给接收方，接收方则可以采用某种相对应的逆运算将密文信息编译成明文,由此实现了信息加密传输.如今,信息安全已成为大家普遍关注的问题,事关你我.密码学的发展和加密技术的提高将使信息得到更加安全的保护.同时,我们每个人应提高信息保护意识，学习一些信息保护的方法，共同努力保护信息安全。

矩阵的秩

我们研究的事物常常会发生各种形式上的改变，但本质属性不变，所谓“万变不离其宗”,在此不妨称之为“形变质不变”.例如,行列式进行恒等变换,其值不变;矩阵进行初等变换，其秩不变;方程组进行同解变换，其解不变，等等。这启发我们在认识事物时,不但要观其表象，更要明其内里，真正明白形式改变背后隐藏的真谛。

事件之间的关系

世界上所有事物之间既有矛盾对立的一面,又有包容共存的一面.互斥之外又互逆，对立之中又互补，构成了错综复杂又和谐共生的社会.通过学习本节中事件之间的关系，我们可以更加清醒地认识和分析工作和生活中出现的各种困惑和矛盾，用我们学到的知识去化解和从容应对,这就是知识给予我们的智慧和力量。

概率

“概率”是同学们经常听到和用到的一个词语，它的大小是我们津津乐道的，比如,中奖、获胜、成功--我们期望概率越大越好;而失败、落榜、不幸-我们则希望概率尽可能小.但任何事情都是事在人为,我们可以通过学到的概率知识，再加上个人的努力奋斗,心中的目标概率值一定会在我们的期盼之中.同学们，只要你们勤奋刻苦地学习,日积月累的知识一定会使你们得到心中理想的“概率”。

数学规划

数学规划是人们解决实际问题的一大利器.其实，对于每个人来说，人生也得有规划,人生规划影响着我们生活中每个目标的实现，进而决定着我们的最终目标的完成.它就像一个时间表,合理地分配我们的精力,规划着我们的人生,人生规划作为一种设计,不断地为我们实现人生目标服务.由于人生目标是随着实际需要而变动的,因此人生规划也是需要不断调整和变化发展的。

数学规划模型

对于数学规划模型，有目标才有可能存在最优解，就如同我们每个人的人生一样,必须定位自己的人生目标，才可能实现人生价值.有了目标，内心的力量才会找到方向,漫无目标地飘荡终归会迷路,你内心那座无价的金矿也终因不开采而与平凡的尘土一样.你选择什么样的目标,就会有什么样的成就,也就会有什么样的人生。